Question

我市某工藝廠為配合2010年上海世博會，設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷．該工藝品每天試銷情況經過調查，得到如下數據：

銷售單價x（元/件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200

（1）把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應的點，猜想y與x的函數關系

y=-10x+800

；
（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤W最大？（利潤=銷售總價-成本總價）．
（3）當地物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大是多少？

Answer 1

分析：（1）描點，由圖可猜想y與x是一次函數關系，任選兩點求表達式，再驗證猜想的正確性；
（2）利潤=銷售總價-成本總價=單件利潤×銷售量．據此得表達式，運用性質求最值；
（3）根據自變量的取值范圍結合函數圖象解答．

解答： 解：（1）畫圖如圖；
由圖可猜想y與x是一次函數關系，
設這個一次函數為y=kx+b（k≠0）
∵這個一次函數的圖象經過（30，500）
（40，400）這兩點，
∴

500=30k+b 400=40k+b

，
解得

k=-10 b=800

．
∴函數關系式是：y=-10x+800；

（2）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800），
=-10x ²+1000x-16000，
=-10（x-50）²+9000，
∴當x=50時，W有最大值9000．
所以，當銷售單價定為50元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）對于函數W=-10（x-50）²+9000，當x≤45時，
W的值隨著x值的增大而增大，
當x=45時有最大值，W=-250+9000=8750．
∴銷售單價定為45元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．

點評：此題主要考查了二次函數的應用，根據函數解析式求出的最值是理論值，與實際問題中的最值不一定相同，需考慮自變量的取值范圍．