Question

【題目】已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，．

（1）若，函數圖象與軸只有一個交點，求的值；

（2）若，，設點的橫坐標為，求證：；

（3）若，，問是否存在實數，使得在時，隨的增大而增大？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）不存在．

【解析】

（1）根據條件，拋物線化為：y=﹣x2+bx﹣b+1，由△=0即可解決問題．

（2）根據條件，拋物線化為：y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0求出點B橫坐標即可．

（3）不存在．由題意：z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c，根據對稱軸的位置即可判斷．

（1）把點A（1，0）代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0．

∵a=﹣1，∴c=﹣b+1，∴拋物線為y=﹣x2+bx﹣b+1，由題意△=0，∴b2﹣4b+4=0，∴（b﹣2）2=0，∴b=2．

（2）∵b=﹣a﹣c，c=1，∴拋物線為y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0，則有ax2﹣（a+1）x+1=0，∴（x﹣1）（ax﹣1）=0，∴x=1或．

∵0＜a＜1，∴＞1，∴B點的橫坐標為xB＞1．

（3）不存在．理由如下：

∵b=﹣a﹣c，a=1，∴b=﹣1﹣c，∴拋物線為y=x2﹣（c+1）x+c，∴z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c．

∵對稱軸x=．

又∵c≥3，m2≥0，∴對稱軸x＞0，∴當0＜x＜時，z隨x的增大而減小，∴這樣的m不存在．