Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、點(diǎn)C三點(diǎn)．

（1）試求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式？

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）代入拋物線y=ax2+bx+3（a≠0），

，

解得：a=﹣1，b=2．

故拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：存在

將點(diǎn)D代入拋物線解析式得：m=3，

∴D（2，3），

令x=0，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OB，

∴∠OCB=∠CBO=45°，

如下圖，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G，

∵CD∥x軸，

∴∠DCB=∠BCO=45°，

在△CDB和△CGB中：

∵∠

∴△CDB≌△CGB（ASA），

∴CG=CD=2，

∴OG=1，

∴點(diǎn)G（0，1），

設(shè)直線BP：y=kx+1，

代入點(diǎn)B（3，0），

∴k=﹣ ，

∴直線BP：y=﹣ x+1，

聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式：

，

解得： 或 （舍），

∴P（﹣ ， ）

（3）

解：直線BC：y=﹣x+3，直線BD：y=﹣3x+9，

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如下圖：

設(shè)直線C′B′：y=﹣（x﹣t）+3

聯(lián)立直線BD求得F（ ， ），

S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF

= ×2×3﹣ ×t×t﹣ ×（2﹣t）（3﹣ ）

整理得：S=﹣ t2+3t（0≤t≤2）．

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如下圖：

H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）

S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）

整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）

綜上所述：S=

【解析】（1）將點(diǎn)A、B代入拋物線解析式，求出a、b值即可得到拋物線解析式；（2）根據(jù)已知求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并且由線段OC、OB相等、CD∥x軸及等腰三角形性質(zhì)證明△CDB≌△CGB，利用全等三角形性質(zhì)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，寫出直線BP解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）分兩種情況，第一種情況重疊部分為四邊形，利用大三角形減去兩個(gè)小三角形求得解析式，第二種情況重疊部分為三角形，可利用三角形面積公式求得．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．