Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+2與拋物線y=a （x+2）²相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點．
（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設線段PM的長為l，點P的橫坐標為x，請求出l²與x之間的 函數關系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入求出A的坐標，求出直線與拋物線的交點坐標即可；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，設P的坐標是（x，-

1

2

x+2），根據勾股定理求出x即可；
（3）連接AM，求出AM，①當PM=PA時，根據勾股定理得到

5

4

x²+2x+8=x²+（-

1

2

x+2-2）²，求出方程的解即可；同理②當PM=AM時，求出P的坐標；③當PA=AM時，求出P的坐標．

解答：解：（1）A的坐標是（0，2），拋物線的解析式是y=

1

2

（x+2）²．

（2）如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM，
過點P作PD⊥x軸于點D，
設P的坐標是（x，-

1

2

x+2），則在Rt△PDM中，
PM²=DM²+PD²
即l²=（-2-x）²+（-

1

2

x+2）²=

5

4

x²+2x+8，
自變量x的取值范圍是：-5＜x＜0，
答：l²與x之間的函數關系是l²=

5

4

x²+2x+8，自變量x的取值范圍是-5＜x＜0．

（3）存在滿足條件的點P，
連接AM，由題意得，AM=

OA2+OM2

=2

2

，
①當PM=PA時，

5

4

x²+2x+8=x²+（-

1

2

x+2-2）²，
解得：x=-4，
此時y=-

1

2

×（-4）+2=4，
∴點P₁（-4，4）；
②當PM=AM時，

5

4

x²+2x+8=（2

2

）²，
解得：x₁=-

8

5

    x₂=0（舍去），
此時y=-

1

2

×（-

8

5

）+2=

14

5

，
∴點P₂（-

8

5

，

14

5

），
③當PA=AM時，x²+（-

1

2

x+2-2）²=（2

2

）²，
解得：x₁=-

4 10

5

    x₂=

4 10

5

（舍去），
此時y=-

1

2

×（-

4 10

5

）+2=

2 10 +10

5

，
∴點P₃（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

），
綜上所述，滿足條件的點為：
P₁（-4，4）、P₂（-

8

5

，

14

5

）、P₃（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

），
答：存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標是（-4，4）或（-

8

5

，

14

5

）或（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵．