Question

如圖①，將一張矩形紙片對折，然后沿虛線剪切，得到兩個（不等邊）三角形紙片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）將△ABC，△A₁B₁C₁如圖②擺放，使點A₁與B重合，點B₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交BB₁于點E．
①求證：四邊形C₁B₁AB為梯形.
②若∠A="45°," ∠ABC="30°," 求∠B₁C₁C的度數   
（2）若將△ABC，△A₁B₁C₁如圖③擺放，使點B₁與B重合，點A₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交A₁B于點F．試判斷∠A₁C₁C與∠A₁BC是否相等，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，若AC＝3，B₁C₁＝6，設A₁B＝x，C₁F＝y，寫出y與x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）

Answer 1

（1）①證明見解析，②60°. （2）相等，理由見解析；（3）.

解析試題分析：（1）①根據全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，由△ABC≌△A₁B₁C₁可得B₁C∥C₁A和BC₁≠B₁A，從而得證. ②由角的等量轉換可由求解.
（2）由△C₁BC∽△A₁BA可得結論.
（3）由△BC₁F∽△B A₁C₁可得結論.
（1）①如圖，依題意知：△ABC≌△A₁B₁C₁，∴∠A＝∠2，BB₁＝BA，BC₁＝CA，∠3＝∠4.
∵BB₁＝BA，∴∠1＝∠A. ∴∠1＝∠2. ∴B₁C∥C₁A.
∵BC₁＝CA，∴BC₁≠B₁A.
∴四邊形C₁B₁AB為梯形.

②∵∠A=45°,∠1＝∠A，∠1＝∠2, ∴∠2＝45°.
∵∠3＝∠4,∠3="30°," ∴∠4=30°.
∵BC₁∥AC,  BC₁＝AC，∴CA BC₁是平行四邊形. ∴∠6＝∠A＝45°.
∴.
（2）結論是：∠A₁C₁C＝∠A₁BC，理由如下：
如圖，易證：△C₁BC∽△A₁BA，
∴∠3＝∠A.
∵∠A＝∠4，∴∠3＝∠4.
又∠C₁FA₁＝∠CFB，∴∠A₁C₁C＝∠A₁BC.

（3）∵BC=B₁C₁，∴∠3＝∠5. ∴∠4＝∠5.
又∵∠2＝∠2，∴△BC₁F∽△B A₁C₁.∴.
∵A₁C₁＝AC＝3，BC₁＝B₁C₁＝6， A₁B＝x，C₁F＝y，∴.
∴y與x的函數關系式為.
考點：1.全等三角形的判定和性質；2.等腰三角形的判定和性質；3.梯形的判定；4.平行四邊形的判定和性質；5.相似三角形的判定和性質；6.三角形內角和定理；7.由實際問題列函數關系式.