Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC為直徑的圓⊙O交AC于點G，交AB于點D，過點D作⊙O的切線，交CB的延長線于點E，交AC于點F．則下列結論：①DF⊥AC；②DO=DB；③cos∠E=．正確的是__.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

首先連接OD,由CA=CB，OB=OD,易證得OD∥AC,又由DF是O的切線,即可證得①;首先連接BG,CD,可求得CD的長,然后由ABCD=2S△ABC=AC×BG,求得BG的長,易證得BG∥EF,即可得cos∠E =cos∠CBG=即可得出③

證明:連接OD,

∴CA=CB,OB=OD,

∴∠A=∠ABC,∠ABC=∠ODB,

∴∠A=∠ODB

∴OD∥AC

∵DF是O的切線,

∴OD⊥DF

∴DF⊥AC.故①正確

連接BG,CD

∵BC是直徑,

∴∠BDC=90°,

∵CA=CB=10

∴AD= BD= AB==6

CD=

∵AB·CD =2S△ABC=AC·BG,

∴BG=

∵BG⊥AC,DF⊥AC

∴BG∥EF，

∴∠E=∠CBG,

∴cos∠E=cos∠CBG= ,

∴③正確

故答案為：①③