Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心， AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、DC．
（1）求證：D是 的中點；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若 ，且AC=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥BC，

∵OD∥BC，

∴AE⊥OD，

∴D是 的中點；

（2）證明：

方法一：

如圖，延長OD交AB于G，則OG∥BC，

∴∠AGD=∠B，

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：

如圖，延長AD交BC于H，

則∠ADO=∠AHC，

∵∠AHC=∠B+∠BAD，

∴∠ADO=∠B+∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：∵AO=OC，

∴S△OCD= S△ACD，

∵ ，

∴ ，

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，

∴△ACD∽△FCE，

∴ ，

即： ，

∴CF=2．

【解析】（1）由AC是⊙O的直徑，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可證得D是 的中點；（2）首先延長OD交AB于G，則OG∥BC，可得OA=OD，根據等腰三角形的性質，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；（3）由AO=OC，S△OCD= S△ACD ， 即可得 ，又由△ACD∽△FCE，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CF的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．