Question

【題目】小明在數學活動課上，將邊長為和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖a,他連接AD、CF，經測量發現AD=CF．

（1）他將正方形ODEF繞O點逆時針針旋轉一定的角度，如圖b，試判斷AD與CF還相等嗎？說明理由．

（2）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線l上，如圖c，請求出CF的長．

Answer 1

【答案】解：（1）AD=CF。理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。

在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，

∴△AOD≌△COF（SAS）。

∴AD=CF。

（2）與（1）同理求出CF=AD，

如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=OE，

∵正方形ODEF的邊長為，∴OE=×=2。

∴DG=OG=OE=×2=1。

∴AG=AO+OG=3+1=4，

在Rt△ADG中， ，

∴CF=AD=。

【解析】（1）根據正方形的性質可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證。

（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據正方形的對角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD。