Question

【題目】如圖，已知拋物線（b、c是常數，且c＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1,0)．

（1）b＝______，點B的橫坐標為_______（上述結果均用含c的代數式表示）；

（2）連結BC，過點A作直線AE//BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，坐標為(2,0)，當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結PB、PC．設△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有_____個．

Answer 1

【答案】（1）b=+c；B的橫坐標為-2c；（2）拋物線的解析式為y=x2-x-2；（3）11.

【解析】試題本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，二次函數的性質，直線平移的規律，求兩個函數的交點坐標，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數的關系等知識，綜合性較強，有一定難度，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵.

（1）將A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根據一元二次方程根與系數的關系，得出-1xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，c），則可設直線BC的解析式為y=kx+c，將B點坐標代入，運用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x+c；由AE∥BC，設直線AE得到解析式為y=x+m，將點A的坐標代入，運用待定系數法求出直線AE得到解析式為y=x+；解方程組，求出點E坐標為（1-2c，1-c），將點E坐標代入直線CD的解析式y=-x+c，求出c=-2，進而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-1＜x＜0時，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）當0＜x＜4時，過點P作PG⊥x軸于點G，交CB于點F．設點P坐標為（x，x2-x-2），則點F坐標為（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PFOB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根據二次函數的性質求出S最大值=4，即0＜S≤4，則0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S為整數，得出S=1，2，3，4．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-1＜x＜0時，根據△PBC中BC邊上的高h小于△ABC中BC邊上的高AC=，得出滿足條件的△PBC共有4個；（Ⅱ）當0＜x＜4時，由于S=-x2+4x，根據一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△PBC共有7個；則滿足條件的△PBC共有4+7=11個．

試題解析：（1）b=c+，點B的橫坐標為-2c．

（2）由y=x2+（c+）x+c=（x+1）（x+2c），設E（x，（x+1）（x+2c））．

如圖1，過點E作EH⊥x軸于H．

由于OB=2OC，當AE//BC時，AH=2EH．

所以x+1=（x+1）（x+2c）．因此x=1-2c．所以E（1-2c，1-c）．

當C、D、E三點在同一直線上時，．所以=．

整理，得2c2＋3c-2=0．解得c=-2或c=（舍去）．

所以拋物線的解析式為y=x2-x-2．

（3）①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F，如圖2．

直線BC的解析式為y=x-2．

設P（m，m2-m-2），那么P（m，m-2），FP=-m2+2m．

所以S△PBC=S△PBF＋S△PCF=FP（xB-xC）=2FP=-m2+4m=-（m-2）2+4．

因此當P在BC下方時，△PBC的最大值為4．

當P在BC上方時，因為S△ABC=5，所以S△PBC＜5．

綜上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有11個．