Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在邊BC上移動(點E不與點B，C重合)，滿足∠DEF＝∠C，且點D、F分別在邊AB、AC上．

（1）求證：△BDE∽△CEF；

（2）當點E移動到BC的中點時，求證：DE平分∠BDF.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，根據三角形的內角和和平角的定義得到∠BDE=∠CEF，于是得到結論；

（2）由（1）可得，根據點E是BC的中點，則可化為，即可證：△DEF∽△ECF，則有△BDE∽△EDF，∠BDE=∠EDF，可得DE平分∠BDF．

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠DEF，
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，
∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，

∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；

（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，

∵點E是BC的中點，
∴BE=CE，

∴

∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，

∴△BDE∽△EDF，

∴∠BDE=∠EDF，
∴DE平分∠BDF．