Question

某玩具批發商銷售每件進價為40元的玩具，市場調查發現，若以每件50元的價格銷售，平均每天銷售90件，單價每提高1元，平均每天就少銷售3件．
（1）平均每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式為　       　；
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；
（3）物價部門規定每件售價不得高于55元，當每件玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

Answer 1

（1）﹣3x+240；
（2）﹣3x²+360x﹣9600；
（3）每件玩具的銷售價為55元時，可獲得1125元的最大利潤

試題分析：（1）平均每天銷售量y=原來的銷售量90﹣3×相對于50元的單價提高的價格；
（2）銷售利潤W=單價的利潤×平均每天的銷售量，代入即可得出W與x的函數關系式．
（3）根據題中所給的自變量的取值，結合（2）得到的關系式，即可求得二次函數的最值．
解：（1）由題意得：y=90﹣3（x﹣50）=﹣3x+240；
（2）W=（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x²+360x﹣9600；
（3）y=﹣3x²+360x﹣9600=﹣3（x﹣60）²+1200，
故當x=60時，y取最大值1200，
∵x=60是二次函數的對稱軸，且開口向下，
∴當x＜60時，y隨x的增大而增大，
∵規定每件售價不得高于55元，
∴當x=55時，W取得最大值為1125元，
即每件玩具的銷售價為55元時，可獲得1125元的最大利潤．
點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，最大銷售利潤的問題常用函數的增減性來解答，要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=﹣時取得．