Question

【題目】已知，點不在同一條直線上，

（1）如圖①，當時，求的度數；

（2）如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數量關系；

（3）如圖③，在（2）的前提下且，，直接寫的值

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.

【解析】

（1）過點C作CF∥AD，則CF∥BE，根據平行線的性質可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，將其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度數；

（2）過點Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據平行線的性質、角平分線的定義可得出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)，結合（1）的結論可得出2∠AQB+∠C=180°；

（3）由（2）的結論可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數，再結合（1）的結論可得出∠ACB的度數.

解：（1）在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，

∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°．

（2）在圖2中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD=∠CAD，∠EBQ=∠CBE，

∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD)．

∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C=180°．

（3）∵AC∥QB，

∴∠AQB=∠CAP=∠CAD，∠ACP=∠PBQ=∠CBE，

∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB=180°，

∴∠CAD=∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，

∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，

∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，

故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.