Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的正半軸交于點A，拋物線的頂點為B，直線經過A，B兩點，且．

（1）求拋物線的解析式

（2）點P在第一象限內對稱軸右側的拋物線上，其橫坐標為，連接OP，交對稱軸于點C，過點C作軸，交直線于點，連接，設線段的長為，求與之間的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點在線段上，連接，交于點F，點G是BE的中點，過點G作軸，交的延長線于點，當且時，求點的坐標；

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2），自變量的取值范圍是；（3），點的坐標為

【解析】

（1）過點B作BC⊥OA垂足為C．令y=0可求得點A的坐標，由拋物線的對稱性可得到AC=3，然后依據銳角三角形函數的定義可得到BC的長，從而得到點B的坐標；將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式，可求得a、b的值，于是可求得拋物線的解析式；

（2）先求得直線AB的解析式，設P的坐標為（t，-t2+6t），可求得直線OP的解析式為y=（-t+6）x，接下來，求得點C的縱坐標，從而得到D點的縱坐標為-3t+18．接下來將點D點的縱坐標代入直線AB的解析式可求得點D的橫坐標，然后根據P點和D點的橫坐標相同，可至PD的長等于P、D兩點的縱坐標之差；

（3）延長PQ交y軸于點H，過點P作PM∥x軸．先證明∠PMH=∠PMO，于是可證明△PHM≌△POM，由全等三角形的性質可得到HM=OM，設P（a，-a2+6a），則H（0，-2a2+12a）．接下來，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得點E的縱坐標為，由中點坐標公式可求得F的坐標（用含a的式子表示），將F的坐標代入直線AB的解析式可求得a的值，于是可求得點P的坐標、PH的解析式、點E的坐標，然后依據中點坐標公式可求得點G的坐標，從而得到點Q的縱坐標，然后將點Q的縱坐標代入PH的解析式可求得點Q的橫坐標，于是可求得點Q的坐標，最后將點Q的坐標代入拋物線的解析式即可作出判斷．

（1）如圖1所示，過點B作，

令則，

，

，

，

因為拋物線經過點，且B為頂點，

所以，

，

，

，

，解得，

所以拋物線解析式為．

(2)如圖2所示，

設直線AB解析式為，

則，

解得，

所以直線解析式為，

設點P的坐標為，OP的解析式為，

，

將代入解析式得，

，

軸，的縱坐標為，

將代入直線AB的解析式得：，

，

，

軸，，

自變量的取值范圍是．

如圖3所示：延長交軸于點，過點P作軸，

軸，

，

，

，

軸，

，

，

，

，

設，則，

設PH的解析式為，

將點P的坐標代入得：，

解得，

所以直線PH的解析式為，

將代入得解析式為，

所以點E的縱坐標為，

，

，

，

將代入AB的解析式得：，

，

整理得：，

解得或(舍去)

當時，，

，

，

所以直線PH的解析式為，

將代入得：，

，

，

軸，所以的縱坐標為8，

將代入，得，

解得，

所以點的坐標為．