Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，己知點A（5，0），B（4，4）
（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求一點P（不同于點B），使S_△PAO=S_△ABO，請直接寫出點P的坐標；
（3）在位于線段OB上方的拋物線上有一動點M，其橫坐標為t，求△OBM的面積S和t的函數關系式；
（4）t為何值時，S_△OBM=$\frac{3}{5}$S_△ABO．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法直接求出拋物線解析式；
（2）先求出△ABO的面積，再用面積公式建立方程求解即可；
（3）利用坐標系中求三角形面積的方法即可得出結論；
（4）借助（1）知，△ABO的面積為10，進而求出△OBM的面積，第一種情況，借助（3）結論求出點M在直線OB上方時的t，再利用對稱即可得出點M在OB下方的時間t．

解答 解：（1）∵拋物線過點O（0，0），A（5，0），
∴設拋物線的解析式為y=ax（x-5），
∵拋物線過點B（4，4），
∴4=a×4×（4-5），
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x（x-5）=-x²+5x，
（2）∵A（5，0），
∴OA=5，
∵B（4，4），
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA×|y_B|=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
設P（m，-m²+5m），
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$OA×|y_B|=$\frac{1}{2}$×5×|-m²+5m|，
∵S_△PAO=S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$×5×|-m²+5m|=10，
∴m=$\frac{5±\sqrt{41}}{2}$或m=1或m=4（舍），
∴P（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-4）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，-4）或（1，4）
（3）如圖，過點M作MC⊥OA，交OB于C，∵B（4，4），
∴直線OB的解析式為y=x，
∵在位于線段OB上方的拋物線上有一動點M，其橫坐標為t，
∴M（t，-t²+5t）
∴D（t，t）（0＜t＜4），），
∴DM=-t²+5t-t=-t²+4t，
∴S=S_△OBM=S_△MOD+S_△MBD=$\frac{1}{2}$（-t²+4t）×t+$\frac{1}{2}$（-t²+4t）×（4-t）=$\frac{1}{2}$（-t²+4t）（t+4-t）=2（-t²+4t）=-2t²+8t（0＜t＜4）；
（4）由（1）知，S_△ABO=10．
∵S_△OBM=$\frac{3}{5}$S_△ABO．
∴S_△OBM=$\frac{3}{5}$×10=6．
①點M在直線OB上方時（0＜t＜4），由（3）知，S=S_△OBM=-2t²+8t=6，
∴t=1或t=3，
②點M在直線OB下方時（t＜0或t＞4），
由①知，當t=1時，M（1，4），
∵直線OB的解析式為y=x，
∴過點M平行于OB的直線l的解析式為y=x+3，
∴在直線OB下方，到直線OB的距離等于直線OB與直線l間的距離的直線為y=x-3①，
∵拋物線的解析式為y=-x²+5x②，
聯立①②解得，x=2±$\sqrt{7}$，
∴t=2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$，
即：滿足條件的t的值為1或3或2+$\sqrt{7}$或2-$\sqrt{7}$．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積的計算方法，對稱的性質，解本題的關鍵是掌握平面坐標系中三角形的面積的計算方法，是一道比較簡單的題目．