Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數，b＞0）經過點A（﹣1，0），點M（m，0）是x軸正半軸上的動點．

（1）當b＝2時，求拋物線的頂點坐標；

（2）點D（b，yD）在拋物線上，當AM＝AD，m＝3時，求b的值；

（3）點Q（b+，yQ）在拋物線上，當AM+2QM的最小值為時，求b的值．（說明：yD表示D點的縱坐標，yQ表示Q點的縱坐標）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6．

【解析】

（1）將點A坐標及b的值代入可得拋物線解析式，化為頂點式可得頂點坐標.

（2）將點D橫坐標代入可得其縱坐標yD＝﹣b﹣1，由b＞0可判斷其所在象限，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，則點E（b，0），表示出AE、DE長，可知AE＝DE，在Rt△ADE中，得AD＝AE，由AM＝AD求出b值即可；

（3）求出yQ，可知點Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直線x＝b的右側，可取點N（0，1），過點Q作直線AN的垂線，垂足為G，QG與x軸相交于點M，過點Q作QH⊥x軸于點H，則點H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，設點M（m，0），可用含b的代數式表示m，由AM+2QM＝列出方程求解即可.

解：（1）∵拋物線y＝x2﹣bx+c經過點A（﹣1，0），

∴1+b+c＝0，

即c＝﹣b﹣1，

當b＝2時，

y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣bx﹣b﹣1，

∵點D（b，yD）在拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，

∴yD＝b2﹣bb﹣b﹣1＝﹣b﹣1，

由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，

∴點D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在拋物線對稱軸x＝的右側，

如圖1，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，則點E（b，0），

∴AE＝/span>b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，

∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，

∴AD＝AE，

由已知AM＝AD，m＝3，

∴3﹣（﹣1）＝（b+1），

∴b＝2﹣1；

（3）∵點Q（b+，yQ）在拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，

∴yQ＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，

可知點Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直線x＝b的右側，

∵AM+2QM＝2（AM+QM），

∴可取點N（0，1），

如圖2，過點Q作直線AN的垂線，垂足為G，QG與x軸相交于點M，

由∠GAM＝45°，得AM＝GM，

則此時點M滿足題意，

過點Q作QH⊥x軸于點H，則點H（b+，0），

在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，

∴QH＝MH，QM＝MH，

∵點M（m，0），

∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，

解得m＝﹣，

∵AM+2QM＝，

∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，

∴b＝6．