Question

如圖，已知正比例函數y=ax與反比例函數y=

k

x

的圖象交于點A（3，2）
（1）求上述兩函數的表達式；
（2）M（m，n）是反比例函數圖象上的一個動點，其中0＜m＜3，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A點作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．若s_{四邊形OADM}=6，求點M的坐標，并判斷線段BM與DM的大小關系，說明理由；
（3）探索：x軸上是否存在點P．使△OAP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（3，2）分別代入y=

k

x

，y=ax中，得ak的值，進而可得正比例函數和反比例函數的表達式；
（2）由S_△OMB=S_△OAC=

1

2

|k|=3，可得S_矩形OBDC=12；即OC•OB=12；進而可得mn的值，故可得BM與DM的大小；比較可得其大小關系；
（3）存在．由（2）可知D（3，4），根據矩形的性質得A（3，2），分為OA為等腰三角形的腰，OA為等腰三角形的底，分別求P點坐標．

解答：解：（1）將A（3，2）分別代入y=

k

x

，y=ax中，得：2=

k

3

，3a=2
∴k=6，a=

2

3

，
∴反比例函數的表達式為：y=

6

x

，
正比例函數的表達式為y=

2

3

x；

（2）BM=DM
理由：∵S_△OMB=S_△OAC=

1

2

×|k|=3
∴S_矩形OBDC=S_{四邊形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴m=

6

n

=

3

2

，即點M的坐標為（

3

2

，4）
∴MB=

3

2

，MD=3-

3

2

=

3

2

，
∴MB=MD；

（3）存在．
由（2）得A（3，2），OA=

32+22

=

13

當OA為等腰三角形的腰時，P（

13

，0）或（-

13

，0）或（6，0），
當OA為等腰三角形的底，P（

13

6

，0）．
∴滿足條件的P點坐標為（

13

，0）或（-

13

，0）或（6，0）或（

13

6

，0）．

點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．