Question

【題目】如圖，點(diǎn)A 坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF，連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△OEF相似，，則B的坐標(biāo)是 ___________

Answer 1

【答案】（，0）或（3，0）

【解析】

根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，1）可以確定∠AOB=45°，又四邊形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可證明△OFE的邊OE=2EF，再根據(jù)“以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF兩種情況討論，根據(jù)△ACF與△AOB相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列出比例式計(jì)算即可求出正方形的邊長(zhǎng)，從而OB的長(zhǎng)亦可求出．

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，

∴AH=OH=1,∠AOB=45°，

∴OD=CD，

設(shè)CF=x，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，

∴CD=CF=EF=DE=x，

∴OE=OD+DE=2EF，

∵以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似，

∴①EF=2EB,則EB=x，

∴OB=OE+EB=2x+x=x，

∵CF∥DE，

∴△ACF∽△AOB，

∴=，

即=1x，

解得x=，

OB=×=，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0)，

②EB=2EF時(shí)，則EB=2x，

∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，

∵CF∥DE，

∴△ACF∽△AOB，

∴=，

即=1x，

解得x=，

OB=4x=4×=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

綜上所述,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(,0)或(3,0).

故答案為：(,0)或(3,0).