Question

【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．

（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若二次函數(shù)y=kx2+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)k=1;(3)見解析.

【解析】

（1）分k=0時(shí)，方程為一元一次方程，有解，k≠0時(shí)，表示出根的判別式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出△≥0，得到一定有實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，解關(guān)于x一元二次方程，求出二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)求出k值為1；

（3）先根據(jù)（2）中的k值寫出二次函數(shù)解析式并整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后寫出直線OP的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），然后寫出拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=（x-h）2+h，再分①拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出h的值，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出h的取值范圍；②直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線解析式消掉未知數(shù)y，利用根的判別式△=0列式求出h的值，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得解．

（1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，方程為x+3=0，所以x=-3，方程有實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)k≠0時(shí)，△=（3k+1）2-4k3，

=9k2+6k+1-12k，

=9k2-6k+1，

=（3k-1）2≥0，

所以，方程有實(shí)數(shù)根，

綜上所述，無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則kx2+（3k+1）x+3=0，

解關(guān)于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，

∴k=1；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=x2+4x+3，

配方得y=（x+2）2-1，

∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），

∴直線OD的解析式為y=x，

于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），

∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）2+h，

①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，令x=0，則y=9，

∴C（0，9），

∴h2+h=9，

解得h=，

∴當(dāng)≤h＜時(shí)，平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

由方程組，

消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，

∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=4，

此時(shí)拋物線y=（x-4）2+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），符合題意，

綜上所述：平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或≤h＜．