Question

【題目】如圖，、是⊙的切線，，為切點，.連接并延長與⊙交于點，連接、.

(1)求證：四邊形是菱形.

(2)若⊙半徑為1，求菱形的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）連接AO，BO，根據PA、PB是⊙O的切線，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的內角和得到∠AOP=60°，根據三角形外角的性質得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到結論；

（2）連接AB交PC于D，根據菱形的性質得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到結論．

(1)連接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，

∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，

∴AC=AP，

同理BC=PB，

∴AC=BC=BP=AP，

∴四邊形ACBP是菱形；

(2)連接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，

∴OA=1，∠AOP=60°，

∴AD=OA=，

∴PD=，

∴PC=3，AB=，

∴菱形ACBP的面積=ABPC=．