Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，點P從點A出發，以1 cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2 cm/s的速度向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．在這種情況下請你解決以下問題：

（1）從運動開始，當t取何值時，四邊形PQBA是矩形；

（2）在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由；

（3）在整個運動過程中是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）不存在，理由詳見解析；（3）存在，當t＝5或6或時，△DQC是等腰三角形．

【解析】

（1）由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．再根據矩形的判定進行計算即可得到答案．

（2）要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形．再題意知當t＝4時，四邊形PQCD是平行四邊形，則DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，即可由菱形的判定得到答案．

（3）分三種情況討論：①當QC＝DC時，即2t＝10，∴t＝5．

②當DQ＝DC時，過點D作DH⊥CQ，由勾股定理得到DC＝10．則t＝6．

③當QD＝QC時，過點D作DH⊥CQ，在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．計算得到t＝．

解：（1）如圖，由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．

要使四邊形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需滿足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6．

所以當t＝6時，四邊形PQBA是矩形．

（2）不存在．理由：

要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形．

由例知當t＝4時，四邊形PQCD是平行四邊形．

此時DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

所以按已知速度運動，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形．

（3）△DQC是等腰三角形時，分三種情況討論：

①如圖1，當QC＝DC時，即2t＝10，∴t＝5．

圖1

②如圖2，當DQ＝DC時，過點D作DH⊥CQ，

圖2

則QH＝CH＝CQ＝t．

在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC－AD＝6，

∴DC＝＝10．

∴t＝6．

③如圖3，當QD＝QC時，過點D作DH⊥CQ，

圖3

DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t－6|．

在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．

∴82＋|2t－6|2＝(2t)2．

解得t＝．

綜上，當t＝5或6或時，△DQC是等腰三角形．