Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE

（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BDC，

又∵∠B=∠B，

∴△BCD∽△BAC；

（2）

證明：連結DO，如圖，

∵∠BDC=90°，E為BC的中點，

∴DE=CE=BE，

∴∠EDC=∠ECD，

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，

∴DE⊥OD，

∴DE與⊙O相切．

【解析】（1）根據AC為⊙O的直徑，得出△BCD為Rt△，通過已知條件證明△BCD∽△BAC即可；
（2）連結DO，如圖，根據直角三角形斜邊上的中線性質，由∠BDC=90°，E為BC的中點得到DE=CE=BE，則利用等腰三角形的性質得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根據切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．