Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于C、F兩點（點C在點F左邊），與y軸交于點D，AD＝2，點B坐標為（﹣4，5），點E為AB上一點，且BE＝ED，連接CD，CB，CE．

（1）求點C、D、E的坐標；

（2）如圖2，延長ED交x軸于點M，請判斷△CEM的形狀，并說明理由；

（3）在圖2的基礎上，將△CEM沿著CE翻折，使點M落在點M'處，請判斷點M'是否在此拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標是（﹣4，0），點D的坐標是（0，3），點E的坐標是（﹣，5）；（2）△CEM的等腰三角形．理由見解析；（3）點M'不在此拋物線上．理由見解析.

【解析】

（1）結合拋物線解析式求得點C、D的坐標；設EA=a，根據已知條件BE=ED列出方程a2+22=（4-a）2，解方程即可求得a的值，易得點E的坐標；
（2）△CEM的等腰三角形，利用全等三角形（△CBE≌△CDE）的性質得到∠BEC=∠CED，由平行線的性質和等量代換推知∠CED=∠ECM．所以EM=CM，證得△CEM的等腰三角形；
（3）點M'不在此拋物線上．設M（m，0）．由相似三角形（△DOM∽△DAE）的對應邊成比例求得m的值，易得CM的長度，根據翻折的性質知EM=EM′．易得四邊形CMEM′是菱形．由菱形的對邊相等的性質可以求得點M′的坐標，將代入函數解析式進行驗證即可．

（1）如圖1所示，

∵拋物線y＝x2+ x+3與x軸交于C，當y＝0時，x2+ x+3＝0．

解得x1＝﹣，x2＝﹣4．

∵點C在點F左邊，

∴點C的坐標是（﹣4，0）．

當x＝0時，y＝3．

∴點D的坐標是（0，3）．

∵AD＝2，D（0，3），

∴OA＝5．

∵點B坐標為（﹣4，5），

∴BA∥x軸．

在Rt△EAD中，設EA＝a，EB＝4﹣a．

又BE＝ED，

∴DE＝4﹣a．

∴a2+22＝（4﹣a）2，得a＝．

∴點E的坐標是（，5）．

（2）如圖2所示，△CEM的等腰三角形．理由如下：

由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．

由勾股定理求得CD＝5．

又∵點B坐標為（﹣4，5），

∴CB＝5，CD＝CB．

又∵BE＝BD，

∴△CBE≌△CDE（SSS）．

∴∠BEC＝∠CED．

又∵BE∥CM，

∴∠BEC＝∠ECM，

∴∠CED＝∠ECM．

∴EM＝CM．

∴△MCE是等腰三角形．

（3）點M'不在此拋物線上．理由如下：

如圖3所示，

設點M的坐標是（m，0）．

∵△DOM∽△DAE．

，即

解得m＝．

∵CM＝4+ ＝．

由翻折可知，EM＝EM′．

∵CM＝EM，

∴四邊形CMEM′是菱形．

∴EM′＝CM＝．

．

∴點M′的坐標是（，5）．

當m＝時，代入拋物線解析式y＝x2+ x+3，得

．

∴點M′不在此拋物線上．