Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．

求證：（1）AM⊥DM；

（2）M為BC的中點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠BAD+∠ADC=180°，根據角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90°，根據垂直的定義得到答案；
（2）作NM⊥AD，根據角平分線的性質得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案．

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180，

∴∠MAD+∠ADM=90，，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M為BC的中點．