Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD= BC，DE⊥CE，DE=CE，連接AE，點M是AE的中點．

（1）如圖1，若點D在BC邊上，連接CM，當AB=4時，求CM的長；
（2）如圖2，若點D在△ABC的內部，連接BD，點N是BD中點，連接MN，NE，求證：MN⊥AE；
（3）如圖3，將圖2中的△CDE繞點C逆時針旋轉，使∠BCD=30°，連接BD，點N是BD中點，連接MN，探索 的值并直接寫出結果．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

連接AD．

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACD=45°，BC= =4 ，

∵DC= BC=2 ，

∵ED=EC，∠DEC=90°，

∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，

∴∠ACE=90°，

在RT△ACE中，AE= = =2 ，

∵AM=ME，

∴CM= AE=

（2）

證明：如圖2中，

延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長ED交AB于F．

在△AMG和△EMD中，

，

∴△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，

∠MAG=∠MED，

∴EF∥AG，

∴∠BAG=∠BFE=180°﹣∠FBC﹣（90°﹣∠ECB）=45°+∠BCE=∠ACE，

在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE，

∴∠ABG=∠CAE，

∵∠CAE+∠BAE=90°，

∴∠ABG+∠BAE=90°，

∴∠AOB=90°，

∴BG⊥AE，

∵DN=NB，DM=MG，

∴MN∥BG，

∴MN⊥AE

（3）

解：如圖3中，

延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長AG、EC交于點F．

∵△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，

∴AG∥DE，

∴∠F=∠DEC=90°，

∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，

∴∠BAG=∠ACE=120°，

在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE，

∴BG=AE，

∵BN=ND，DM=MG，

∵BG=AE=2MN，

∴∠FAC=∠BCD=30°，設BC=2a，則CD=a，DE=EC= a，AC= a，CF= a，AF= a，EF= a，

∴AE= = a，

∴MN= a，

∴ = =

【解析】（1）先證明△ACE是直角三角形，根據CM= AE，求出AE即可解決問題．（2）如圖2中，延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長ED交AB于F，先證明△AMG≌△EMD，推出EF∥AG，再證明△ABG≌△CAE，得∠ABG=∠CAE，由此即可解決問題．（3）如圖3中，延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長AG、EC交于點F，先證明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，設BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根據中位線定理MN= BG= AE，由此即可解決問題．本題考查相似形綜合題、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造全等三角形，學會添加輔助線的方法，屬于中考壓軸題．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．