Question

【題目】如圖，頂點為P（4，﹣4）的二次函數圖象經過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON，

（1）求該二次函數的關系式；
（2）若點A的坐標是（6，﹣3），求△ANO的面積；
（3）若點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：
①證明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數的頂點坐標為（4，﹣4），

∴設二次函數的解析式為y=a（x﹣4）2﹣4，

又二次函數過（0，0），

∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a= ，

∴二次函數解析式為y= （x﹣4）2﹣4= x2﹣2x

（2）

解：設直線OA的解析式為y=kx，將A（6，﹣3）代入得﹣3=6k，解得k=﹣ ，

∴直線OA的解析式為y=﹣ x，

把x=4代入y=﹣ x得y=﹣2，

∴M（4，﹣2），

又∵點M、N關于點P對稱，

∴N（4，﹣6），

∴MN=4，

∴S△ANO= ×6×4=12

（3）

解：①證明：過A作AH⊥l于H，l與x軸交于點D，如圖所示：

設A（m， m2﹣2m），又O（0，0），

∴直線AO的解析式為y= x=（ m﹣2）x，

則M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4， m2﹣2m），

∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD= m2﹣m，

在Rt△OND中，tan∠ONM= = ，

在Rt△ANH中，tan∠ANM= = = = ，

∴tan∠ONM=tan∠ANM，

則∠ANM=∠ONM；

②△ANO能為直角三角形，理由如下：

分三種情況考慮：

（i）若∠ONA為直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，

∴△AHN為等腰直角三角形，

∴HA=NH，即m﹣4= m2﹣m，

整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，

解得：m=4，

此時點A與點P重合，故不存在A點使△ONA為直角三角形；

（ii）若∠AON為直角，根據勾股定理得：OA2+ON2=AN2，

∵OA2=m2+（ m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（ m2﹣2m+m）2，

∴m2+（ m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（ m2﹣2m+m）2，

整理得：m（m2﹣8m﹣16）=0，

解得：m=0或m=4+4 或4﹣4 （舍去），

當m=0時，A點與原點重合，故∠AON不能為直角，

當m=4+4 ，即A（4+4 ，4）時，N為第四象限點，成立，故∠AON能為直角；

（iii）若∠NAO為直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，

∴△AMN∽△DMO，

又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，

∴△AMN∽△DON，

∴△AMN∽△DMO∽△DON，

∴ = ，即 = ，

整理得：（m﹣4）2=0，

解得：m=4，

此時A與P重合，故∠NAO不能為直角，

綜上，點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，△ANO能為直角三角形，當m=4+4 ，即A（4+4 ，4）時，N為第四象限點，成立，故∠AON能為直角

【解析】（1）由二次函數的頂點坐標，設出二次函數的頂點式，再由二次函數過原點，將原點坐標代入設出的解析式中，確定出a的值，即可求出二次函數的解析式；（2）首先通過求出OA直線方程求出M點的坐標，再通過對稱性求出N點的坐標，進而求出MN的長度，△ANO的面積可以通過A點的橫坐標長度和MN的長度計算得到；（3）①過A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點D，由A在二次函數圖象上，設A橫坐標為m，將x=m代入二次函數解析式，表示出縱坐標，確定出A的坐標，再由O的坐標，表示出直線AO的解析式，進而表示出M，N及H的坐標，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠ANM，化簡后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證；
②△ANO不能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若∠ONA為直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN為等腰直角三角形，得到AH=HN，將表示出的AH及HN代入，得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為0或4± ，進而得到此時A與P重合，不合題意，故∠ONA不能為直角；若∠AON為直角，利用勾股定理得到OA2+ON2=AN2 ， 由A的坐標，利用勾股定理表示出OA2 ， 由OD及DN，利用勾股定理表示出ON2 ， 由AH及HN，利用勾股定理表示出AN2 ， 代入OA2+ON2=AN2 ， 得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為4±4 或0，然后判斷∠AON是否為直角；若∠NAO為直角，則有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，將各自的值代入得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值為4，此時A與P重合，故∠NAO不能為直角，綜上，點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，△ANO不能為直角三角形．