Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC，垂足為點H，連接DE，交AB于點F．

（1）求證：DH是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，

①當AE＝FE時，求 的長（結果保留π）；

②當 時，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②

【解析】

（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角證明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；

（2）①根據等腰三角形的性質的∠EAF＝∠EAF，設∠B＝∠C＝α，得到∠EAF＝∠EFA＝2α，根據三角形的內角和得到∠B＝36°，求得∠AOD＝72°，根據弧長公式即可得到結論；

②連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形得到AD＝，根據相似三角形的性質得到AH＝3，于是得到結論．

證明：（1）連接OD，如圖，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線；

（2）①∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EAF，

設∠B＝∠C＝α，

∴∠EAF＝∠EFA＝2α，

∵∠E＝∠B＝α，

∴α+2α+2α＝180°，

∴α＝36°，

∴∠B＝36°，

∴∠AOD＝72°，

∴的長＝；

②連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵⊙O的半徑為4，

∴AB＝AC＝8，

∵，

∴，

∴AD＝，

∵AD⊥BC，DH⊥AC，

∴△ADH∽△ACD，

∴，

∴，

∴AH＝3，

∴CH＝5，

∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，

∴∠E＝∠C，

∴DE＝DC，∵DH⊥AC，

∴EH＝CH＝5，

∴AE＝2，

∵OD∥AC，

∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，

∴△AEF∽△ODF，

∴，

∴，

∴AF＝．