Question

已知：如圖，⊙O₂過⊙O₁的圓心O₁且與⊙O₁內切于點P．弦AB切⊙O₂于點C，PA、PB分別與⊙O₂交于D、E兩點，延長PC交⊙O₁于點F．
求證：
（1）BC²=BE•BP；
（2）∠1=∠2；
（3）CF²=BE•AP．

Answer 1

分析：（1）連接CE，利用弦切角定理易得∠2=∠BCE，再加一組公共角，易證△BCE∽△BPC，可得比例線段，從而可證；
（2）作⊙O₁與⊙O₂的公切線PM，利用弦切角定理、結合三角形外角性質易證∠1=∠BCE，再利用弦切角定理可證∠1=∠2；
（3）連接O₁P、O₁E、O₁C，由于O₁P是小圓的直徑，那么∠O₁CP=90°，利用垂徑定理，可證CF=CP①，同理可證BE=EP②，利用弦切角定理易得∠ACP=∠ECP，結合（2）中的結論，易證△ACP∽△CEP，可得比例線段，再把①②代入，化簡即可得證．

解答：證明：（1）連接CE，（1分）
∵BC是⊙O₂的切線，
∴∠2=∠BCE，（3分）
又∵∠B=∠B，
∴△BCE∽△BPC，（5分）
∴

BE

BC

=

BC

BP

，
∴BC²=BE•BP；（6分）

（2）作⊙O₁與⊙O₂的公切線PM，（7分）
∵∠MPC=∠CEP，∠MPA=∠B，（8分）
∴∠1=∠MPC-∠MPA=∠CEP-∠B，（9分）
又∠CEP-∠B=∠BCE，
∴∠1=∠BCE，（10分）
又∵AB切⊙O₂于C，
∴∠BCE=∠2，（11分）
∴∠1=∠2；（12分）

（3）連接O₁P、O₁E、O₁C，
∵P是切點，
∴O₁P是直徑，（13分）
∴O₁E⊥PB，（14分）
∴BE=EP，①（15分）
同理，FC=PC，②（16分）
在△ACP和△CEP中，∵AC是切線，
∴∠ACP=∠CEP，（17分）
又∠1=∠2，
∴△ACP∽△CEP，（18分）
∴

AP

CP

=

CP

EP

，
∴CP²=AP•EP，（19分）
將①、②式代入，得CF²=BE•AP．（20分）

點評：本題主要利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性質、垂徑定理、等量代換等性質．