Question

（2001•貴陽）已知：如圖，⊙O₂過⊙O₁的圓心O₁，且與⊙O₁內切于點P，弦AB切⊙O₂于點C，PA、PB分別與⊙O₂交于D、E，延長PC交⊙O₁于點F，連接CD、CE、AF．
求證：（1）PF平分∠APB；（2）CP²=2PD•EP．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，過P作兩圓的切線MN，由MN切圓O₁，圓O₂于P，可以推出DE∥BC，得到∠BCE=∠CED，即可推出∠APC=∠BPC，得到答案；
（2）連接O₁D，O₁O₂，由切線AB推出∠ACP=∠CEP，能得到△ACP和△CEP相似，得出PC²=PE•AP，再由垂徑定理得出
AP=2DP，代入即可得到答案．
解答：證明：（1）連接DE，過P作兩圓的切線MN，
∵MN切圓O₁，圓O₂于P，
∴∠MPA=∠B=∠PED，
∴DE∥BC，
∴∠BCE=∠CED，
∵AB且圓O₂于C，
∴∠BCE=∠BPC，
∵∠CED=∠DPC，
∴∠APC=∠BPC，
即：PF平分∠APB．

（2）連接O₁D，O₁O₂，
則O₁O₂過P，
∵O₁P是直徑，
∴∠O₁DP=90°，
∵O₁D過圓心O₁，
∴AD=PD=AP，
∵AB切圓O₂于C，
∴∠ACP=∠CEP，
∵∠APC=∠BPC，
∴△ACP∽△CEP，
∴=，
∴PC²=PE•AP=2PD•EP，
即：PC²=2PD•EP．
點評：本題主要考查了切線的性質，平行線的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，正確作輔助線是解此題的關鍵，題型很好，綜合性比較強．此題有一定的難度．