Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為2a，2b，點A，D，G在y軸上，坐標原點O為AD的中點，拋物線y=mx2過C，F兩點，連接FD并延長交拋物線于點M．

（1）若a=1，求m和b的值；

（2）求的值；

（3）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=，b=1+；（2）=1+；（3）見解析．

【解析】（1）由a=1，根據正方形的性質及已知條件得出C（2，1）．將C點坐標代入y=mx2，求出m=，則拋物線解析式為y=x2，再將F（2b，2b+1）代入y=x2，即可求出b的值；

（2）由正方形ABCD的邊長為2a，坐標原點O為AD的中點，得出C（2a，a）．將C點坐標代入y=mx2，求出m=，則拋物線解析式為y=x2，再將F（2b，2b+a）代入y=x2，整理得出方程b2﹣2ab﹣a2=0，把a看作常數，利用求根公式得出b=（1±）a（負值舍去），那么=1+；

（3）先利用待定系數法求出直線FD的解析式為y=x+a．再求出M點坐標為（2a﹣2a，3a﹣2a）．又F（2a+2a，3a+2a），利用中點坐標公式得到以FM為直徑的圓的圓心O′的坐標為（2a，3a），再求出O′到直線AB（y=﹣a）的距離d的值，以FM為直徑的圓的半徑r的值，由d=r，根據直線與圓的位置關系可得以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．

解：（1）∵a=1，

∴正方形ABCD的邊長為2，

∵坐標原點O為AD的中點，

∴C（2，1）．

∵拋物線y=mx2過C點，∴1=4m，解得m=，

∴拋物線解析式為y=x2，

將F（2b，2b+1）代入y=x2，

得2b+1=×（2b）2，b=1±（負值舍去）．

故m=，b=1+；

（2）∵正方形ABCD的邊長為2a，坐標原點O為AD的中點，

∴C（2a，a）．

∵拋物線y=mx2過C點，∴a=m4a2，解得m=，

∴拋物線解析式為y=x2，

將F（2b，2b+a）代入y=x2，

得2b+a=×（2b）2，

整理得b2﹣2ab﹣a2=0，解得b=（1±）a（負值舍去），

∴=1+；

（3）以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．

理由如下：∵D（0，a），

∴可設直線FD的解析式為y=kx+a，

∵F（2b，2b+a），∴2b+a=k2b+a，解得k=1，

∴直線FD的解析式為y=x+a．

將y=x+a代入y=x2，

得x+a=x2，解得x=2a±2a（正值舍去），

∴M點坐標為（2a﹣2a，3a﹣2a）．

∵F（2b，2b+a），b=（1+）a，∴F（2a+2a，3a+2a），

∴以FM為直徑的圓的圓心O′的坐標為（2a，3a），

∴O′到直線AB（y=﹣a）的距離d=3a﹣（﹣a）=4a，

∵以FM為直徑的圓的半徑r=O′F==4a，

∴d=r，

∴以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．

“點睛”本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到正方形的性質，待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，一元二次方程的求根公式，直線與拋物線交點坐標的求法，直線與圓的位置關系．綜合性較強，難度適中．正確求出拋物線的解析式是解題的關鍵．