Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+b的頂點坐標為（0，﹣1），且經過點A（﹣2，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若將拋物線y=ax2+b中在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不變，就得到了函數y=|ax2+b|圖象上的任意一點P，直線l是經過（0，1）且平行與x軸的直線，過點P作直線l的垂線，垂足為D，猜想并探究：PO與PD的差是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由． （注：在解題過程中，如果你覺得有困難，可以閱讀下面的材料）
附閱讀材料：
① 在平面直角坐標系中，若A、B兩點的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則A，B兩點間的距離為|AB|= ，這個公式叫兩點間距離公式．
例如：已知A，B兩點的坐標分別為（﹣1，2），（2，﹣2），則A，B兩點間的距離為|AB|= =5．
② 因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意設拋物線解析式為y=ax2﹣1，

將點A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，

解得：a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣1

（2）解：如圖，

根據題意，當﹣2≤x≤2時，y=﹣ x2+1；

當x＜﹣2或x＞2時，y= x2﹣1；

由 可得點M（﹣2 ，1）、點N（2 ，1），

① 當﹣2≤x≤2時，設點P坐標為（a，﹣ a2+1），

則PO﹣PD= ﹣[1﹣（﹣ a2+1）]

= a2+1﹣ a2

=1；

②當﹣2 ≤x＜﹣2或2 時，設點P的坐標為（a， a2﹣1），

則PO﹣PD= ﹣[1﹣（ a2﹣1）]

= a2+1﹣2+ a2

= a2﹣1；

③當x＜﹣2 或x＞2 時，設點P的坐標為（a， a2﹣1），

則PO﹣PD= ﹣[（ a2﹣1）﹣1]

= a2+1﹣ a2+2

=3；

綜上，當x＜﹣2 、﹣2≤x≤2或x＞2 時，PO與PD的差為定值

【解析】（1）待定系數法求解可得；（2）先根據題意表示出翻折后拋物線解析式，再求出y=1時x的值，繼而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x＜﹣2或2 、x＜﹣2 或x＞2 三種情況，根據兩點間距離公式列式表示出PO與PD的差即可得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數圖象以及系數a、b、c的關系和坐標與圖形變化-對稱的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）；關于x軸對稱的點的特征：兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）；關于y軸對稱的點的特征：兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）．