Question

【題目】閱讀材料：“直角三角形如果有一個角等于 ，那么這個角所對的邊等于斜邊的一半”，即“在中，，則”．利用以上知識解決下列問題：如圖，已知是的平分線上一點．

（1）若與射線分別相交于點,且．

①如圖1，當時，求證： ；

②當時，求的值．

（2）若與射線的反向延長線、射線分別相交于點，且，請你直接寫出線段三者之間的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）OM-ON=

【解析】

（1）①根據題意證明CNO=90°及∠COM=∠CON=30°，可利用題目中信息得到OM=ON，再利用勾股定理即可解答；

②證明△COM≌CON，得到∠CMO=∠CNO=90°，再利用①中結論即可；

（2）根據題意作出輔助線，再證明△MCE≌△NCF（ASA），得到NF=ME，由30°直角三角形的性質得到OE=OF=，進而得到OM-ON=即可．

（1）①證明：∵CM⊥OA，

∴∠CMO=90°，

∵，∠MCN=120°，

∴∠CNO=360°-∠CMO-∠AOB-∠MCN=90°，

∵C是∠AOB平分線上的一點，

∴CM=CN，∠COM=∠CON=30°，

∵OC=2，

∴CM=CN=1，

由勾股定理可得：OM=ON=，

∴

②當時，

∵OC是∠AOB的平分線，

∴∠COM=∠CON=30°，

在△COM與CON中

∴△COM≌CON（SAS）

∴∠CMO=∠CNO

∵∠AOB=60°，∠MCN=120°，

∴∠CMO+∠CNO=360°-60°-120°=180°

∴∠CMO=∠CNO=90°，

又①可知

（2）如圖所示，作CE⊥OA于點E，作CF⊥OB于點F，

∵∠AOB=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠MCN=120°，

∴∠MCE+∠ECN=∠NCF+∠ECN

∴∠MCE=∠NCF

∵OC是∠AOB的平分線，

∴∠COM=∠CON=30°，CE=CF

∴在△MCE與△NCF中，

∴△MCE≌△NCF（ASA）

∴NF=ME

又∵△OCE≌△OCF，∠COM=∠CON=30°，

∴CE=CF=

∴OE=OF=

∴OM-OE=ON+OF，

∴OM-ON=OE+OF=，

故答案為：OM-ON=