Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是（0， ），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c恰好經過x軸上A，B兩點．

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過C作CE⊥AB于E，由拋物線的對稱性可知AE=BE，

在Rt△AOD和Rt△BEC中，

∵OD=EC，AD=BC，

∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），

∴OA=BE=AE，（1分）

設菱形的邊長為2m，

在Rt△AOD中， ，

解得m=1；

∴DC=2，OA=1，OB=3；

∴A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（2， ）

（2）

解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+ ，

代入A點坐標可得a=﹣ ，

拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+

（3）

解：設拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+k，

代入D（0， ）可得k=5 ，

所以平移后的拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+5 ，

向上平移了5 ﹣ =4 個單位．

【解析】（1）過C作CE⊥AB于E，根據拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得Rt△OAD≌Rt△EBC，則OA=AE=BE，可設菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據勾股定理即可求出m的值，由此可確定A、B、C三點的坐標；（2）根據（1）題求得的三點坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（3）設出平移后的拋物線解析式，將D點坐標代入此函數的解析式中，即可求出平移后的函數解析式，與原二次函數解析式進行比較即可得到平移的單位．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點和菱形的性質，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．