Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點，與軸交于點，在軸上有一動點，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點.

(1)求的值;

(2)若，求的值，

(3)如圖2，在(2)的條件下，設動點對應的位置是，將線段繞點逆時針旋轉得到，旋轉角為，連接、，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1 a= ；（2）m=3；（3）AP2+BP2的最小值為 ．

【解析】

（1）把A點坐標代入可得到關于a的方程，可求得a的值；
（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由條件可得到關于m的方程，則可求得m的值；
（3）在y軸上取一點Q，使 ，可證得△P2OB∽△QOP2，則可求得Q點坐標，則可把AP2+BP2化為AP2+QP2，利用三角形三邊關系可知當A、P2、Q三點在一條線上時有最小值，則可求得答案．

解：（1）∵A（4，0）在拋物線上，
∴0=16a+4（a+2）+2，解得a= ；
（2）由（1）可知拋物線解析式為y=x2+x+2，令x=0可得y=2，
∴OB=2，
∵OP=m，
∴AP=4-m，
∵PM⊥x軸，
∴△OAB∽△PAN，
∴，即 ，
∴PN=（4-m），
∵M在拋物線上，
∴PM=m2+m+2，
∵PN：MN=1：3，
∴PN：PM=1：4，
∴m2+m+2=4×（4-m），
解得m=3或m=4（舍去）；
（3）在y軸上取一點Q，使 ，如圖，

由（2）可知P1（3，0），且OB=2，
∴ ，且∠P2OB=∠QOP2，
∴△P2OB∽△QOP2，
∴ ，
∴當Q（0， ）時QP2=BP2，
∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ，
∴當A、P2、Q三點在一條線上時，AP2+QP2有最小值，
∵A（4，0），Q（0，），
∴AQ= ，即AP2+BP2的最小值為 ．

故答案為：（1 a= ；（2）m=3；（3）AP2+BP2的最小值為 ．