Question

【題目】問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧�中，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，為內(nèi)部一點，連接，求的最小值．

方法通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段(星型線)轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線(化星為折)，再利用“兩點之間線段最短”求最小值(化折為直)．

問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接、，記與交于點，易知，．由，，可知為正三角形，有．

故．因此，當(dāng)共線時，有最小值是．

學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，，，為內(nèi)部一點，連接、，則的最小值是__________．

(2)如圖4，在中，，，為內(nèi)部一點，連接、，求的最小值．

(3)如圖5，是邊長為2的正方形內(nèi)一點，為邊上一點，連接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）.

【解析】

（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，易知是等邊三角形，，轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．

（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延長線于．轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．

（3）如圖5中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則易知是等邊三角形，轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“垂線段最短”求最小值．

解：（1）如圖3中，

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴≌，∠CAE=PAF=60°，

∴AE=AC=3，AF=AP，

∴是等邊三角形，

∵∠BAC=30°，

∴，

在中，，

，

，

的最小值為5．

故答案為5．

（2）如圖4中，

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴AF=AP，∠FAP=90°，

∴是等腰直角三角形，

∴FP=，

∵∠BAC=45°，

∴，，

作交的延長線于．

在中，

，，

，

在中，

，

，

的最小值為．

（3）如圖5中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則易知是等邊三角形，

作于，交于．

，

易知，，

，

，

的最小值為．