Question

【題目】我們約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“正垂形”．

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“正垂形”的有　 　；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形　 　“正垂形”．（填“是”或“不是”）

（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD，當≤OE≤時，求AC2+BD2的取值范圍；

（3）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標為（0，﹣ac），記“正垂形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．試直接寫出滿足下列三個條件的拋物線的解析式；

①； ②； ③“正垂形”ABCD的周長為12．

Answer 1

【答案】（1）①菱形、正方形；②不是；（2）6≤AC2+BD2≤7；（3）y=x2﹣9．

【解析】

（1）①∵菱形、正方形的對角線相互垂直，∴菱形、正方形為“正垂形”，故：答案是：菱形、正方形；

②如圖，當BC=CD時，AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，可知，四邊形ABCD不是“正垂形；

（2）由∠ACB-∠CDB=∠ACD-∠CBD，可知AC⊥BD；OE2=OM2+ON2=（AC）2+（BD）2=（AC2+BD2），即可求解；

（3）設：△=b2-4ac，則：A（，0）、B（0，c）、C（，0）、D（0，-ac），由=+；=+，求a=1；由=+求得b=0；則四邊形ABCD為菱形，即：4AD=12，即可求解．

解：（1）①∵菱形、正方形的對角線相互垂直，∴菱形、正方形為“正垂形”，

∵平行四邊形、矩形對角線不垂直，∴它們不是“正垂形”，

故：答案是：菱形、正方形；

②如圖，當BC=CD時，AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，

∴當CB≠CD時，四邊形ABCD不是“正垂形”，

故：答案為：不是；

（2）∵∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD，而∠ACB=∠ABD，∠ACD=∠ABD，

即：∠ABD+∠BDC=∠DBC+∠ADB，而：∠ABD+∠BDC=∠DBC+∠ADB=180°，

∴∠ACB+∠DBC=∠BDC+∠ACD=90°，∴AC⊥BD；

如下圖：過點O分別作AC、BD的垂線，垂足為M、N，連接OA、OD，

OE2=OM2+ON2=（AC）2+（BD）2=（AC2+BD2），

把≤OE≤，代入上式得：

6≤AC2+BD2≤7；

（3）設：△=b2﹣4ac，則：A（，0）、B（0，c）、C（，0）、D（0，﹣ac），

OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，BD=﹣ac﹣c，

S=ACBD=﹣（ac+c），S1=OAOB=﹣，S2=OCOD=﹣，

S3=OAOD=﹣，S4=OBOC=﹣，

=+，=+， 即：+=+；

∴，即a=1，

則：S=﹣c，s1=﹣，S4=，

∵=+，∴S=S1+S2+2，

∴﹣c=﹣+2，解得：b=0，

∴A（﹣，0）B（0，c）C（，0）D（0，﹣c），

∴四邊形ABCD為菱形，即：4AD=12，

∵AD2=c2﹣c，解得：c=﹣9或10（舍去），

即：y=x2﹣9．