Question

【題目】拋物線y=ax+bx+4（a≠0）過點A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，與y軸交于點C.

（1）求拋物線表達式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作CBPQ，若點P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標平面內的一點，且CBPQ的面積為30，

①求點P坐標;

②過此二點的直線交y軸于F, 此直線上一動點G,當GB+最小時,求點G坐標.

（3）如圖2，⊙O1過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為 上的一動點（不與點A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）

【解析】

（1）把點A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達式；
（2）①如圖，連接PC，過點P作y軸的平行線交直線BC于R，可求得直線BC的解析式為：y=-x+4，設點P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因為CBPQ的面積為30，所以S△PBC= ×(t+4t2+6t4)×5＝15，解得t的值，即可得出點P的坐標；②當點P為（2，-4）時，求得直線QP的解析式為：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因為GB+

GF=GB+GR，所以當G于F重合時，GB+GR最小，即可得出點G的坐標；當點P為（3，-5）時，同理可求；
（3）先用面積法求出sin∠ACB=，tan∠ACB=，在Rt△ABE中，求得圓的直徑，因為MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因為tanN=＝，所以BN=MB，當MB為直徑時，BN的長度最大．

(1) 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點A（1，-1），B（5，-1），
∴ 解得

∴拋物線表達式為y=x﹣6x+4．

(2)①如圖，連接PC，過點P作y軸的平行線交直線BC于R，

設直線BC的解析式為y=kx+m，
∵B（5，-1），C（0，4），

∴ ，解得

∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
設點P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），
∵CBPQ的面積為30，
∴S△PBC= ×(t+4t2+6t4)×5＝15，
解得t=2或t=3，當t=2時，y=-4
當t=3時，y=-5，

∴點P坐標為（2，-4）或（3，-5）；

②當點P為（2，-4）時，
∵直線BC解析式為：y=-x+4，QP∥BC，
設直線QP的解析式為：y=-x+n，
將點P代入，得-4=-2+n，n=-2，
∴直線QP的解析式為：y=-x-2，
∴F（0，-2），∠GOR=45°，
∴GB+GF=GB+GR
當G于F重合時，GB+GR最小，此時點G的坐標為（0，-2），
同理，當點P為（3，-5）時，直線QP的解析式為：y=-x-2，
同理可得點G的坐標為（0，-2），

(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），
∴AC= ，BC=5，
∵S△ABC=AC×BCsin∠ACB＝AB×5，
∴sin∠ACB=，tan∠ACB=，
∵AE為直徑，AB=4，
∴∠ABE=90°，
∵sin∠AEB=sin∠ACB=＝，
∴AE=2，
∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，
∴∠N=∠AEB=∠ACB，
∴tanN=＝，
∴BN=MB，
當MB為直徑時，BN的長度最大，為3．