Question

【題目】（1）如圖①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）結論DE=BD+CE仍然成立，證明詳見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得出∠BDA＝∠AEC＝90°，然后根據∠BAC＝90°得出∠DBA＝∠EAC，從而說明△ABD和△CAE全等，得出BD＝AE，AD＝CE，從而得出答案；(2)、根據∠BDA＝α得出∠DBA+∠BAD＝180°－α，根據∠BAC =α得出∠BAD+∠EAC＝180°－α，從而說明∠DBA ＝∠EAC，然后得出△ABD和△CAE全等，從而得出BD＝AE，AD＝CE，然后得出答案.

試題解析：(1)、∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D、E ∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠BAD＝90° ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90° ∴∠DBA＝∠EAC

在△ABD與△CAE中 ∵∴△ABD≌△CAE

∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD

(2)、結論DE＝BD+CE成立

在△ABD中，∵∠BDA＝α ∴∠DBA+∠BAD＝180°－α ∵∠BAC =α ∴∠BAD+∠EAC＝180°－α

∴∠DBA ＝∠EAC

在△ABD與△CAE中，∵∴△ABD≌△CAE ∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD