Question

【題目】如圖，BE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，垂足為D，連接AE、EC．

（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度數(shù)；

（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）∠AOB＝50°；（2）⊙O的半徑為4．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)圓周角定理即可求出∠AOB的度數(shù)；（2）由BE是直徑可得∠ECB=90°，可得EC//OA，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠AEC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠OEA，由∠A=∠B即可證明∠B＝∠AEB＝∠AEC，可得∠B=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案.

（1）連接OC．

∵半徑OA⊥弦BC，

∴，

∴∠AOC＝∠AOB，

∵∠AOC＝2∠AEC＝50°，

∴∠AOB＝50°．

（2）∵BE是⊙O的直徑，

∴∠ECB＝90°，

∴EC⊥BC，

∵OA⊥BC，

∴EC∥OA，

∴∠A＝∠AEC，

∵OA＝OE，

∴∠A＝∠OEA，

∵∠A＝∠B，

∴∠B＝∠AEB＝∠AEC，

∵∠B+∠AEB+∠AEC=90°，

∴∠B=30°，

∵EC＝4，

∴EB＝2EC＝8，

∴⊙O的半徑為4．