Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點B和點C分別是x軸的正半軸和y軸的正半軸上的兩點，且OB：BC=1：，直線BC的解析式為y=﹣kx+6k（k≠0）．

（1）如圖1，求點C的坐標；

（2）如圖2，點D為OB中點，點E為OC中點，點F在y軸的負半軸上，點A是射線FD上的第一象限的點，連接AE、ED，若FD=DA，且S△AED=，求點A的坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點P在線段OB上，點Q在線段OC的延長線上，CQ=BP，連接PQ與BC交于點M，連接AM并延長AM到點N，連接QN、AP、AB和NP，若∠QPA﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PAB，NP=2，求直線PQ的解析式．

Answer 1

【答案】（1）C（0，6）；（2）A（6，6）；（3）直線PQ的解析式y=﹣2x+8．

【解析】

（1）先求出OB=6，進而求出BC=6，最后用勾股定理求出OC=6，即可得出結論；

（2）先判斷出△FDO≌△ADB，進而求出點A的橫坐標為6，進而利用面積差求出EF=9即可得出結論；

（3）先判斷出四邊形ACOB是平行四邊形，進而判斷出平行四邊形ACOB是正方形，再判斷出PT=PB=CQ，進而得出△PTM≌△QCM，再判斷出∠NQP=∠APQ，進而判斷出△NMQ≌△AMP，即可判斷出四邊形QNPA是平行四邊形，再判斷出平行四邊形QNPA是正方形，進而求出P（4，0），Q（0，8），即可得出結論．

解：（1）令y=0，則﹣kx+6k=0，

∵k≠0，

∴x=6，

∴B（6，0），

∴OB=6，

∵OB：BC=1：，

∴BC=6，

在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，

∴OC=6，

∴C（0，6）；

（2）如圖2，連接AB，過點A作AH⊥y軸于H，

∵FD=DA，OD=BD，∠ODF=∠BDA，

∴△FDO≌△ADB，

∴∠FOD=∠ABD=90°，OF=AB，

∴AB⊥x軸，

∴點A的橫坐標為6，

∴S△AED=S△AEF﹣S△DEF=AH﹣EFOD=EF（AH﹣OD）=EFBD，

∵S△AED=，BD=3，

∴EF=9，

∵EO=3，

∴OF=6，

∴BA=6，

∴A（6，6）；

（3）如圖3，過點P作PT∥y軸，交BC于T，連接AQ，AC，

∴∠MPT=∠MQC，

∵AB∥OC，AB=OC，

∴四邊形ACOB是平行四邊形，

∵∠COB=90°，OB=OC，

∴平行四邊形ACOB是正方形，

∴∠ACO=90°，

∴∠ACQ=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴∠PBT=∠PTB=45°，

∴PT=PB=CQ，

∵∠PMT=∠QMC，

∴△PTM≌△QCM，

∴PM=QM，

∵BA∥y軸，PT∥y軸，

∴AB∥PT，

∴∠BAP=∠TPA，

∵∠QPA﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PAB，

∴∠QPT+∠TPA﹣∠NQO=∠NQO+∠OQP﹣∠PAB，

∴∠TPA=∠NQO，

∴∠NQP=∠APQ，

∵∠NMQ=∠AMP，

∴△NMQ≌△AMP，

∴NM=AM，

∵MQ=MP，

∴四邊形QNPA是平行四邊形，

∵AC=AB，∠QCA=∠PBA=90°，CQ=BP，

∴△QCA≌△PBA，

∴AQ=AP，∠QAC=∠PAB，

∴∠QAP=∠CAB=90°，

∴QNPA是正方形，

∴NP=AP=2，

在Rt△ABP中，AP2=AB2+PB2，

∴PB=2，

∴OP=OB﹣PB=4，OQ=OC+QC=8，

∴P（4，0），Q（0，8），

∴直線PQ的解析式y=﹣2x+8．