Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）求D點的坐標；

（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；

（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（1，﹣4）。

（2）∠E=45°

（3）點Q的坐標為（2，﹣3）或（，）。

【解析】

（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標。

（2）連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°。

（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，設Q（m，n），根據點Q在直線PQ和拋物線上，得到，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標。

解：（1）把x=﹣1，y=0代入得：1+2+c=0，∴c=﹣3。

∴。

∴頂點D的坐標為（1，﹣4）。

（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，

由解得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。

當x=0時，，∴C（0，﹣3）。

∴OB=OC=3。

∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=。

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，

∴∠FCD=45°，CD=。

∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°

∴∠BCD=∠COA。

又∵，∴△DCB∽△AOC。

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°。

（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，

∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°。∴∠MHE=90°。

∴∠PHB=90°。∴∠DBG+∠OPN=90°。

又∵∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP。

又∵∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB=∠PON=90°。

∴△DGB∽△PON。

∴，即，解得ON=2。

∴N（0，﹣2）。

設直線PQ的解析式為y=kx+b，

則，解得：。

∴直線PQ的解析式為。

設Q（m，n）且n＜0，∴。

又∵Q（m，n）在上，∴。

∴，解得：m=2或m=。

∴n=﹣3或n=。

∴點Q的坐標為（2，﹣3）或（，）。