Question

如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底120米，下底180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設甬道的寬為x米．
（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；
（2）當三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；
（3）根據設計的要求，甬道的寬不能超過6米．如果修建甬道的總費用（萬元）與甬道的寬度成正比例關系，比例系數是5.7，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

Answer 1

（1）橫向甬道的面積為：

120+180

2

x=150x（m²）；

（2）橫向甬道的面積為：

120+180

2

x=150x（m²）；
甬道總面積為150x+160x-2x²=310x-2x²，
依題意：310x-2x²=

1

8

×

120+180

2

×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合題意，舍去），
∴甬道的寬為5米；

（3）∵花壇上底120米，下底180米，上下底相距80米，
∴等腰梯形的面積為：

1

2

（120+180）×80=12000，
∵甬道總面積為S=310x-2x²，
綠化總面積為12000-S，
花壇總費用y=甬道總費用+綠化總費用：
∴y=5.7x+（12000-S）×0.02，
=5.7x-0.02S+240，
=5.7x-0.02（310x-2x²）+240，
=0.04x²-0.5x+240，
當x=-

b

2a

=6.25時，y的值最小．
∵根據設計的要求，甬道的寬不能超過6米，
∴當x=6米時，總費用最少．
即最少費用為：0.04×6²-3+240=238.44萬元．