Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，、、是半圓的四等分點，于，連接、相交于點，連接、，下列結論：①；②；③，其中正確的結論是（ ）

A. ①②③ B. 只有①② C. 只有①③ D. 只有③

Answer 1

【答案】C

【解析】

連結OC、BC、OD，OD交CE于G，如圖，由于C、D、E是半圓的四等分點，根據垂徑定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根據圓心角、弧、弦的關系得到∠AOC=∠COD=45°，根據圓周角定理得∠BCE=∠ABC，再證明四邊形CHOG為正方形，則CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所對的弧大于AC弧，則∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．

連結OC、BC、OD，OD交CE于G，如圖：

∵C、D、E是半圓的四等分點，
∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，
∴CE=2CG，CE∥AB
∵CH⊥AB，
∴四邊形CHOG為正方形，
∴CH=CG，
∴CE=2CH，所以①正確；
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠ABC，
而∠CEH所對的弧大于AC弧，
∴∠CEH＞∠ABC，
∴∠ACH＜∠CEH，所以②錯誤；
∵CE∥AB，
∴∠CFD=∠ABD，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，
∴∠CFD=2∠ACH，所以③正確．
故選：C．