Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動點（P點不與C、D重合），過點P作直線與BC的延長線交于點E，與AD交于點F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設CP═x，△PBF的面積為S1 ，△PDE的面積為S2 ．

（1）求證：BP⊥DE．

（2）求S1﹣S2關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

（3）分別求當∠PBF=30°和∠PBF=45°時，S1﹣S2的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S1﹣S2= x2（0＜x＜4）；（3）①當∠PBF=30°時，S1﹣S2=；②當∠PBF=45°時，S1﹣S2=．

【解析】試題分析：（1）首先延長BP交DE于M．然后依據SAS可證明△BCP≌△DCE，依據全等三角形的性質可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；

（2）根據題意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依據三角形的面積公式列出函數關系式即可；

（3）分當∠PBF=30°和∠PBF=45°兩種情形分別求出PC的長，最后再利用（2）中結論進行計算即可.

試題解析：（1）如圖1中，延長BP交DE于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE；

（2）由題意S1﹣S2=（4+x）x﹣ （4﹣x）x=x2（0＜x＜4）；

（3）①如圖2中，當∠PBF=30°時，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BCtan30°=，

∴S1﹣S2=x2=；

②如圖3中，當∠PBF=45°時，在CB上截取CN=CP，連接PN，

由①可知△ABF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP，

∵∠PBF=45°，

∴∠CBP=22.5°，

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，

∴∠NBP=∠NPB=22.5°，

∴BN=PN=x，

∴x+x=4，

∴x=4 ﹣4，

∴S1﹣S2=（4 ﹣4）2=48﹣32 ．