Question

【題目】如圖，在梯形中，， 是腰上一個動點(不含點)，作交于點(如圖1)

求:（1）BC的長和梯形的面積；

（2）當時，求的長；(如圖2)

（3）設試求出關于的函數解析式，并寫出定義域

Answer 1

【答案】（1），；；（2）；（3），

定義域為()

【解析】

（1）過B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根據BH（即AD）的長及∠C的正切值，可求得CH的長，進而可根據勾股定理求得BC的長；得到CH的長，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的長，根據梯形的面積公式可求出梯形ABCD的面積；
（2）當PQ=DQ時，連接AQ，易證得△ADQ≌△APQ，則AD=AP=4；過P作PE⊥AB于E，不難得出∠C=∠PBE；可根據∠PBE的正切值，用未知數表示出BE、PE的長，進而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知數的值，進而可在Rt△BPE中求出BP的長；
（3）過P作PF⊥CD于F，由于∠APQ=90°，易證得△AEP∽△PFQ，根據得到的比例線段即可用表示出QF的長，進而可在Rt△PFC中，根據∠C的正切值用表示出CF的長；由CQ=QF+CF即可得到的函數關系式．

（1）作BH⊥CD，垂足為H，

則四邊形ABHD為矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；
在Rt△BCH中，，
∴，

∴；

又CD=CH+DH=5，
∴；

（2）連接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；
作PE⊥AB交AB的延長線于點E，
在Rt△BPE中，，

令BE=3k，PE=4k，
則在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，
即，解得：，

∴；

（3）作PF⊥CD交CD于點F，

∵，

由(2)得：，，，

∴，，，，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，

∴∠APE+∠PAE=90°，∠APE +∠QPF=90°，

∴∠PAE=∠QPF，
∴△AEP∽△PFQ；

∴，即，

化簡得：，

又，

∴；

定義域為() ．