Question

【題目】如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．

（1）請你探究：，是否都成立？

（2）請你繼續探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．

（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，則DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，則AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；

（2）過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，根據平行線的性質和角平分線的定義得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，則BE＝AB，并且根據相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，這實際是三角形的角平分線定理；

（3）AD為△ABC的內角角平分線，由（2）的結論，根據相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性質解答即可．

解：（1） 等邊△ABC中，線段AD為其內角角平分線，

因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，

∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，

AD＝B1D，

綜上：這兩個等式都成立；

（2）可以判斷結論仍然成立，證明如下：

如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，

線段AD為其內角角平分線

∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD

∴BE＝AB，

又∵BE＝AB．

∴，

即對任意三角形結論仍然成立；

（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，

∵AD為△ABC的內角角平分線，

∴

∵DE∥AC，

∵DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴