Question

【題目】如圖1，點A坐標為（2，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，點C為x軸上一動點，且在點A右側，連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，連接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？
②試說明：無論點C如何移動，AD始終與OB平行；
（2）當點C運動到使AC2=AEAD時，如圖2，經過O、B、C三點的拋物線為y1 ． 試問：y1上是否存在動點P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2 ， 設y1與y2組成的圖形為M，函數y= x+ m的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時，m的取值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①△OBC與△ABD全等，

理由是：如圖1，∵△OAB和△BCD是等邊三角形，

∴∠OBA=∠CBD=60°，

OB=AB，BC=BD，

∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，

即∠OBC=∠ABD，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；

②∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，

∴∠OBA=∠BAD，

∴OB∥AD，

∴無論點C如何移動，AD始終與OB平行

（2）

解：如圖2，

∵AC2=AEAD，

∴ ，

∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴∠ECA=∠ADC，

∵∠BAD=∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，

∵∠BED=∠AEC，

∴∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠ADC，

∵BD=CD，

∴DE⊥BC，

Rt△ABE中，∠BAE=60°，

∴∠ABE=30°，

∴AE= AB= ×2=1，

Rt△AEC中，∠EAC=60°，

∴∠ECA=30°，

∴AC=2AE=2，

∴C（4，0），

等邊△OAB中，過B作BH⊥x軸于H，

∴BH= = ，

∴B（1， ），

設y1的解析式為：y=ax（x﹣4），

把B（1， ）代入得： =a（1﹣4），

a=﹣ ，

∴設y1的解析式為：y1=﹣ x（x﹣4）=﹣ x2+ x，

過E作EG⊥x軸于G，

Rt△AGE中，AE=1，

∴AG= AE= ，

EG= = ，

∴E（ ， ），

設直線AE的解析式為：y=kx+b，

把A（2，0）和E（ ， ）代入得： ，

解得： ，

∴直線AE的解析式為：y= x﹣2 ，

則 ，

解得： ， ，

∴P（3， ）或（﹣2，﹣4 ）

（3）

解：如圖3，

y1=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣2）2+ ，

頂點（2， ），

∴拋物線y2的頂點為（2，﹣ ），

∴y2= （x﹣2）2﹣ ，

當m=0時，y= x與圖形M兩公共點，

當y2與l相切時，即有一個公共點，l與圖形M有3個公共點，

則 ，

= ﹣ ，

x2﹣7x﹣3m=0，

△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，

m≥﹣ ，

∴當l與M的公共點為3個時，m的取值是：﹣ ≤m＜0．

【解析】（1）①利用等邊三角形的性質證明△OBC≌△ABD；②證明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；（2）首先證明DE⊥BC，再求直線AE與拋物線的交點就是點P，所以分別求直線AE和拋物線y1的解析式組成方程組，求解即可；（3）先畫出如圖3，根據圖形畫出直線與圖形M有個公共點時，兩個邊界的直線，上方到y= x，將y= x向下平移即可滿足l與圖形M有3個公共點，一直到直線l與y2相切為止，主要計算相切時，列方程組，確定△≥0時，m的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對等邊三角形的性質的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．