Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點E，與x軸相交于點F．

（1）求線段DE的長；
（2）設過E的直線與拋物線相交于點M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），試判斷當|x1﹣x2|的值最小時，直線MN與x軸的位置關系，并說明理由；
（3）設P為x軸上的一點，∠DAO+∠DPO=∠α，當tan∠α=4時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

∴頂點x=1，y=4，即D（1，4）；

∴DF=4

設直線BC的解析式為y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；

，解得 ，

∴解析式為；y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

∴EF=2，

∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．

（2）

解：設直線MN的解析式為y=kx+b，

∵E（1，2），

∴2=k+b，

∴k=2﹣b，

∴直線MN的解析式y=（2﹣b）x+b，

∵點M、N的坐標是 的解，

整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，

∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；

∵|x1﹣x2|= = = = ，

∴當b=2時，|x1﹣x2|最小值=2 ，

∵b=2時，y=（2﹣b）x+b=2，

∴直線MN∥x軸．

（3）

解：如圖2，∵D（1，4），

∴tan∠DOF=4，

又∵tan∠α=4，

∴∠DOF=∠α，

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，

∵∠DAO+∠DPO=∠α，

∴∠DPO=∠ADO，

∴△ADP∽△AOD，

∴AD2=AOAP，

∵AF=2，DF=4，

∴AD2=AF2+DF2=20，

∴OP=19，

同理，當點P在原點左側，OP=17．

∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．

【解析】（1）根據拋物線的解析式即可求得與坐標軸的坐標及頂點坐標，進而求得直線BC的解析式，把對稱軸代入直線BC的解析式即可求得．（2）設直線MN的解析式為y=kx+b，依據E（1，2）的坐標即可表示出直線MN的解析式y=（2﹣b）x+b，根據直線MN的解析式和拋物線的解析式即可求得x2﹣bx+b﹣3=0，所以x1+x2=b，x1 x2=b﹣3；根據完全平方公式即可求得∵|x1﹣x2|= = = = ，所以當b=2時，|x1﹣x2|最小值=2 ，因為b=2時，y=（2﹣b）x+b=2，所以直線MN∥x軸．（3）由D（1，4），則tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根據三角形外角的性質即可求得∠DPO=∠ADO，進而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AOAP，從而求得OP的長，進而求得P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和兩點間的距離的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記才能正確解答此題．