Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AD=8cm，CD=4cm，點E從點D出發，沿線段DA以每秒1cm的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發，沿射線CD方向以每秒2cm的速度移動，當B、E、F三點共線時，兩點同時停止運動．設點E移動的時間為t（秒），
（1）求證：△BCF∽△CDE；
（2）求t的取值范圍；
（3）連接BE，當t為何值時，∠BEC=∠BFC？

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質和相似三角形的判定方法：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可證明△BCF∽△CDE；
（2）因為當B、E、F三點共線時，兩點同時停止運動，所以可用t表示出此時的DE，BCFD，FC的長，利用相似三角形的性質即可求出t的最大值，進而求出t的取值范圍；
（3）因為△BCF∽△CDE利用相似的性質和矩形的性質可證明BC=BE，利用勾股定理即可求出AE的長，進而求出DE的長，時間t也可求出了．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵ED=t，FC=2t，
∴

ED

FC

=

1

2

，
∵AD=8cm，CD=4cm，
∴

DC

BC

=

1

2

，
∴

ED

FC

=

DC

BC

，
∴△BCF∽△CDE；

（2）已知如圖：
∵AD∥BC，
∴△FED∽FBC，
∴

ED

BC

=

FD

FC

，
∴

t

8

=

2t-4

2t

，
∴t=4，
∴0≤t≤4；

（3）∵△BCF∽△CDE，
∴∠DEC=∠BFC
∵AD∥BC，∠DEC=∠ECB，
∴∠BFC=∠ECB，
∵∠BEC=∠BFC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BC=BE，
∵BC=8cm，
∴AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=

BE2-AB2

=4

3

cm，
∴DE=（8-4

3

）cm，
∵8-4

3

＜4，
∴t=（8-4

3

）秒．

點評：本題綜合性的考查了矩形的性質、相似三角形的判定以及性質、等腰三角形的判定和等腰三角形的性質和勾股定理的運用，題目的難度中等．