Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點D在BC上，且CD＝3cm．動點P，Q同時從點C出發，均以1cm/s的速度運動，其中點P沿CA向終點A運動；點Q沿CB向終點B運動．過點P作PE∥BC，分別交AD，AB于點E，F，設動點Q運動的時間為t秒．

（1）求DQ的長（用含t的代數式表示）；

（2）以點Q，D，F，E為頂點圍成的圖形面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（3）連接PQ，若點M為PQ中點，在整個運動過程中，直接寫出點M運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）當0≤t≤3時，DQ＝3﹣t；當3＜t≤5時，DQ＝t﹣3．

（2）；

（3）3.

【解析】

（1）由于CD=3cm，運動速度為1m/s，故進行分類討論，分別為當0≤t≤3時，當3＜t≤5時，分別計算出DQ的長度即可.

（2）根據梯形面積公式和三角形面積公式，分類進行討論，分別當0≤t≤3時和當3＜t≤4時，四點圍成的是一個梯形，當4＜t≤5時，E、F點重合，此時圍成的是一個三角形.分別計算，用含t的式子將S表示出來即可.

（3）根據題意，CB＞CA，故M點的運動軌跡分為兩段，一段為P點運行到A點，Q點運行到與CA的長相等的地方可設為J點，此時M運行的路經長為等腰直角△JCA的底邊的垂線CR，第二段,過R點作BC的平行線，與AB交于點T,此時P點已經停止在了A點，Q點繼續由J點向B點運動，此時M點的運行軌跡即為RT的長，分別計算出兩段的長，相加即可.

解：（1）當0≤t≤3時，DQ＝CD-CQ

∵CD=3,CQ=t,

∴DQ =3﹣t；

當3＜t≤5時，DQ＝CQ-CD

∵CQ =t，CD =3，

∴DQ =t﹣3．

（2）①當0≤t≤3時，如圖，

∵PC＝t，AC＝4，

∴，

，

，

∴．

②當3＜t≤4時，如圖，

∴．

③當4＜t≤5時，如圖，

∴．

綜上所述

（3）點M運動的路徑長為2，

如圖，在CB上取一點J，使得CJ＝CA，連接AJ，作CR⊥AJ于R，RT∥BC交AB于T．

由題意點M的運動路徑是C→R→T，

∵CA＝CJ＝4，CR⊥AJ，∠ACJ＝90°，

∴AJ＝4，AR＝RJ，

∴CR＝AJ＝2，

∵RT∥BJ，AR＝RJ，

∴AT＝TB，

∴RT＝BJ＝，

∴點M的運動路徑的長為2．