Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線l與x軸、y軸分別交于點B（4，0）、C（0，3），點A為x軸負半軸上一點，AM⊥BC于點M交y軸于點N，滿足4CN=5ON．已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）連接AC，點D在線段BC上方的拋物線上，連接DC、DB，若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD= S△ABC ， 求點D的坐標；
（3）如圖2，E為OB中點，設F為線段BC上一點（不含端點），連接EF．一動點P從E出發，沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿著線段FC以每秒 個單位的速度運動到C后停止．若點P在整個運動過程中用時最少，請直接寫出最少時間和此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON= ，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得OA=1，

∴A（﹣1，0），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a1（﹣4）=3，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3；

（2）

解：設直線BC的解析式為y=mx+n，

把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3，

作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，

設P（x，﹣ x2+ x+3），則Q（x，﹣ x+3），

DQ=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4（﹣ x2+3x）=﹣ x2+6x，

∵S△BCD= S△ABC，

∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，

整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D點坐標為（1， ）或（3，3）；

（3）

解：設F（m，﹣ x+3），則EF= = ，CF= ，

點P在整個運動過程中所用時間t=EF+ =EF+ CF≥2 ，當EF= CF時，取等號，此時t最小，

即 x2﹣ x+13=（ x）2，

整理得2x2﹣17x+26，解得x1=2，x2= （舍去），

∴點P在整個運動過程中所用的最少時間2× ×2=3秒，此時點F的坐標為（2， ）．

【解析】（1）先利用OC=3和4CN=5ON計算出ON= ，再證明△AON∽△COB，利用相似比計算出OA=1，得到A（﹣1，0），然后利用交點式可求出拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+3；（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設P（x，﹣ x2+ x+3），則Q（x，﹣ x+3），再計算出DQ=﹣ x2+3x，根據三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=﹣ x2+6x，然后根據S△BCD= S△ABC得到﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點坐標；（3）設F（m，﹣ x+3）利用兩點間的距離公式得到EF= ，CF= x，則點P在整個運動過程中所用時間t=EF+ =EF+ CF，根據不等式公式得到EF+ CF≥2 ，當EF= CF時，取等號，此時t最小，解方程 x2﹣ x+13=（ x）2得x1=2，x2= （舍去），于是得到點P在整個運動過程中所用的最少時間2× ×2=3秒，此時點F的坐標為（2， ）．